Một dòng họ được xem là phát triển nếu gia phong của dòng họ đó là phát triển, mà gia phong lại được xây dựng từ triết học mà dòng họ đó tin tưởng.
Đối với một dân tộc, triết học sinh ra bản sắc văn hóa của dân tộc đó Một dân tộc mạnh hay yếu trước hết phải đánh giá bằng thứ triết học của chính dân tộc mình.
Ngay cả khi phải tiếp thu một triết học từ bên ngoài thì bản thân dân tộc đó cũng phải có một triết học của riêng mình để với tư thế của người có chính kiến mời khách vào đàm đạo.
Triết học của một dân tộc đẻ ra bản sắc văn hóa của dân tộc đó. Triết học của một dòng họ sinh ra gia phong, nề nếp của dòng họ đó. Triết học của một cá nhân sinh ra niềm tin, tình yêu, đạo đức và ý chí của cá nhân đó.
Dân tộc Việt Nam suốt gần 5000 năm lịch sử vẫn chưa có một triết học được viết thành văn mặc dù triết học của người Việt đã có từ thời các vua Hùng. Điều này khiến tác giả, một người con của đất Việt, quyết tâm xây dựng một triết học cho chính dòng họ mình, cho chính dân tộc mình, một triết học” Made in Vietnam”.
Sau 20 năm nghiền ngẫm tác giả đã xây dựng xong triết học Tâm Vũ trụ. Trong thời gian đó tác giả ngắt hết thông tin về triết học để không bị chi phối bởi bất kỳ tư tưởng nào.
Quyển sách mỏng này là một học thuyết thể hiện vũ trụ quan của tác giả. Học thuyết Tâm Vũ Trụ nằm trong miền giao của Triết học, Toán học và Vật lý tuy nhiên phần Triết học được nhấn mạnh nhất
Tác giả quyết định hiến dâng cho dòng họ Đỗ, dòng họ Phạm và dân tộc Việt Nam triết học Tâm Vũ Trụ của mình. Mong rằng những người con của đất Việt bổ sung vào cho đầy đủ và hoàn chỉnh để cho dân tộc ta có một triết học do người Việt Nam sang tạo.
Trong quyển sách mỏng này, công cụ mà tác giả dùng để diễn đạt là Toán học và Triết học. Xin nhấn mạnh là tác giả chỉ mượn phương pháp tiên đề và lý thuyết tập hợp của toán học như một xúc tác, như một sự gợi mở cho những ý tưởng sâu xa về triết học của bạn đọc chứ không dùng nó một cách khiên cưỡng, máy móc.
Để đọc quyển sách này, bạn đọc không cần phải chuẩn bị bất kỳ kiến thức nào khác ngoài một tư duy vững vàng về toán học và một chút hiểu biết về lý thuyết tập hợp.
Theo kinh nghiệm dạy đứa con trai trưởng của tác giả, một em học sinh lớp 6, khá về toán là có thể đọc hiểu học thuyết này
Với lòng biết ơn chân thành những ý kiến góp ý của bạn đọc, chúng tôi đã tiếp thu và sửa chữa rất nhiều nhưng chắc chắn vẫn còn thiếu sót.
Hà nội, 22-2-2002
Đỗ Xuân Thọ
LỜI TỰA LẦN THỨ HAI
Thực ra, tôi không muốn đăng bốn chương 5, 6, 7 và 8 vì muốn dành riêng cho hai con trai của mình nhưng do lời khuyên của con trai trưởng của tôi khi về nước thăm nhà: "Bố không cần giấu lý thuyết của bố ! Một học sinh lớp 12/12 của bất cứ quốc gia nào đều có thể hiểu nguyên lý chế tạo bom nguyên tử nhưng không phải quốc gia nào cũng có thể chế tạo được vì đó là công nghệ ! Bố có thể giấu công nghệ điều khiển sóng ý thức (SYT) còn phần lý thuyết thì bố cứ công bố vì biết đâu có một đứa trẻ Việt Nam nào đó phát triển rất thành công lý thuyết của bố ".
Trong lần sửa này, tác giả đã đưa vào 5 chương mới:Chương 0 : Những kiến thức chuẩn bị, chương 5: Tâm Vũ Trụ và Bản Số, chương 6: Sự phân loại âm dương của 7 thành tố có ở trong Tâm Vũ Trụ, chương 7: Lý thuyết huyệt đạo và chương 8: Phép thiền toán Việt Nam. Ngoài ra, tác giả đã đưa vào đầy đủ lý thuyết tập mờ và logic mờ của L.A.Zadeh trong phụ lục B để độc giả tiện tra cứu
Độc giả chỉ cần đọc lướt qua chương 0, chương chuẩn bị rồi đi thẳng vào nội dung cuốn sách. Khi cần thiết, độc giả có thể quay lại với nó để tra cứu vì nó được biên soạn một các độc lập
Chương 5 và chương 6 được viết hết sức ngắn gọn và, cô đọng
Chương 7: Lý thuyết huyệt đạo được trình bày một cách hạn chế, vì lý do an ninh của dân tộc. Phần lớn các định lý trong chương này chỉ được nêu ra mà không chứng minh. Tuy nhiên, những định lý quan trọng nhất đã được chứng minh chặt chẽ.
Trong chương 8, tác giả trình bày phép thiền toán Việt Nam. Đây là kết quả nghiên cứu của 20 năm của tác giả. Chính nhờ phép thiền toán Việt Nam mà tác giả đã xây dựng được quyển sách này. Nó đặc biệt hữu ích cho những học sinh, sinh viên tự học. Nó là phương pháp có thể nói là duy nhất để tìm đến chân lý tuyệt đối (Tâm Vũ Trụ).
Từ chương 1 cho đến chương 4 (những lần công bố trước) đã được sửa chữa rất nhiều lần sau khi tác giả đăng và gửi công trình của mình trên các trang web, thư điện tử, sách in và nhận được nhiều phản biện từ các nhà khoa học (tự nhiên và xã hội) trong và ngoài nước. Nhiều ý kiến đã được tiếp thu và thay đổi trong quyển sách công bố lần này. Tác giả vô cùng cảm ơn GS.TSKH. Nguyễn Văn Khang, GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hùng, TS. Lê Chí Thành, TS. Bùi Xuân Ngó, TS. Đỗ Đức Hạnh, GS.TS Tô Duy Hợp, GS.TS. Phạm Công Hà, PGS.TS. Trần Đức Trung, ThS. Bùi Phương Lan, ThS. Vũ Thị Hiên… trang web vatlyvietnam.org, trang web thegioivohinh.org, v.v… đã cho những phản biện quý giá. Tác giả cũng vô cùng cảm ơn sự tài trợ tiền in ấn và những lời khuyên quý giá của Luật sư Nguyễn Trần Bạt.
Tác giả đã cố gắng sửa chữa, tuy nhiên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót.
Mọi góp ý, phê bình và phản biện xin gửi cho tác giả theo địa chỉ:
Hà Nội, ngày 24 tháng 11 năm 2011
Tác giả
Đỗ Xuân Thọ
CHƯƠNG 0
NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này sẽ trình bầy những kiến thức gần như đầy đủ của lý thuyết tập hợp cổ điển .
Tất cả các tiên đề, định nghĩa và định lý cơ bản cần thiết để xây dựng học thuyết Tâm Vũ Trụ được chọn lọc trong chương này.
Trong một chừng mực nào đó, sự trình bầy ở đây là kín. Độc giả không cần chuẩn bị bất kỳ một kiến thức nào ngoài sự vững vàng về mặt tư duy toán học.
Những kiến thức chuẩn bị này tác giả sẽ trình bầy gần như nguyên vẹn như cách trình bầy của J.L.Kelly trong cuốn sách tuyệt vời của ông [2].
Bạn đọc có thể đọc lướt chương 0 rồi tiến tới nội dung của học thuyết Tâm Vũ Trụ ngay. Sau này, bất kỳ lúc nào bạn cũng có thể quay trở lại chương 0 để đối chiếu với những gì mình còn hiểu lơ mơ.
Trong phần này sẽ xây dựng các tự số và bản số và chứng minh những định lý thường dùng nhất. Sau đó sẽ định nghĩa các số nguyên không âm và các tiên đề Pơanô, xem như các định lý, sẽ được chứng minh.
Xem như độc giả đã biết logic sơ cấp, còn việc hiểu biết logic hình thức đối với chúng ta là không cốt yếu. Tuy nhiên việc hiểu biết bản chất của các hệ toán học (theo nghĩa kỹ thuật) sẽ giúp làm sáng tỏ và tìm thấy nguyên nhân toàn bộ sự tranh luận.
Việc trình bày lý thuyết tập hợp được tiến hành sao cho có thể dễ dàng dịch nó sáng ngôn ngữ hoàn toàn hình thức. Để làm dễ dàng sự lĩnh hội hình thức cũng như phi hình thức, phần mở đầu được chia làm hai mục trong đó mục thứ hai, về thực chất, là sự phát biểu chính xác lại phần thứ nhất. Có thể bỏ qua nó mà không làm việc trình bày mất liên tục.
Hệ thống tiên đề được tiếp nhận là biến dạng của hệ thống tiên đề Skôlem và A. Mooxơ ; nhiều tiên đề trong đó bắt nguồn từ hệ tiên đề Hilbe-Becnai-txơ-Phôn Nôiman trong phát biểu của Gơđen. Việc chọn cách tiếp cận hình thức dưới đây, được xác định bởi mong muốn xây dựng được nhanh chóng và tự nhiên cơ sở toán học tránh khỏi những nghịch lý hiển nhiên nhất. Vì lý do đó trong cơ sở sẽ đặt không phải một hệ tiên đề hữu hạn mà là tám tiên đề và một lược đồ tiên đề (điều sau đó có nghĩa là tất cả những khẳng định thuộc một loại nhất định nào đó sẽ được lấy làm tiên đề).
Để thuận tiện ta cũng gọi nhiều mệnh đề có tính chất chuẩn bị là các định lý. Điều đó dẫn tới việc làm quá đầy danh sách các định lý trong khi đó cho phép bỏ qua được nhiều chứng minh này và rút ngắn nhiều chứng minh khác. Những qui ước được dựng trong phần lớn trường hợp ít nhiều đều rõ ràng do dạng của các định nghĩa và định lý.
LƯỢC ĐỒ PHÂN LOẠI CÁC TIÊN ĐỀ
Đẳng thức bao giờ cũng được hiểu là sự đồng nhất logic: “1+1=2” phải hiểu là sự khẳng định về “1+1” và “2” là những tên gọi của cùng một đối tượng. Ngoài những tiên đề thông thường của đẳng thức, giả thiết là qui tắc thay thế được thoả mãn không có những hạn chế nào. Nói riêng, trong định lý việc thay một đối tượng bởi một đối tượng bằng với nó, lại cho một định lý.
Ngoài “=” và những hằng logic khác còn có hai hằng nguyên thủy (không được định nghĩa). Hằng thứ nhất là “Î” đọc là “là phần tử của” hay “thuộc”. Hằng thứ hai được ký hiệu hơi lạ: “{…:…}” đọc là “lớp tất cả những … sao cho…”. Đó là phần tử phân loại. Chú thích về cách dùng thuật ngữ “lớp” có thể làm sáng tỏ sự việc. Thuật ngữ này không gặp trong bất cứ một tiên đề, một định nghĩa và một định lý nào. Nó xuất hiện trong khi giải thích những luận điểm của ta như các điều khẳng định về các lớp (các tập hợp, các họ). Thành thử trong sự lập luận sắp tới nhắc tới sự giải thích đó là mục đích của thuật ngữ “lớp”.
Những chữ la tinh nhỏ ký hiệu các biến (logic). Sự khác nhau giữa hằng và biến hoàn toàn nằm trong các qui tắc thay thế. Chẳng hạn trong một định lý việc thay thế một biến bằng một biến khác không có mặt trong định lý đó lại vẫn cho ta một định lý. Đối với các hằng không phải như vậy.
I. Tiên đề về rộng. Với mỗi x và y, x=y khi và chỉ khi với mỗi z, zÎx khi và chỉ khi zÎy.
Thành thử hai lớp trùng nhau khi và chỉ khi mỗi phần tử của lớp này đều là phần tử của lớp kia. Thường trong các phát biểu của định lý và định nghĩa ta sẽ bỏ đi thuật ngữ “với mỗi x” và “với mỗi y”. Chẳng hạn nếu trong phát biểu mà ở trước biến x không có thuật ngữ “với mỗi” hay “với một” nào đó thì phải đọc chỗ đó của định lý hay định nghĩa là “với mỗi x”.
Cách gọi tên đặc biệt về các lớp mà bản thân chúng lại là phần tử của lớp được cho bởi định nghĩa sau. Lý do khiến cần có sự phân chia các lớp làm hai loại sau này sẽ được giải thích.
1. Định nghĩa: x là tập hợp khi và chỉ khi với một y nào đó ta có xÎy.
Nhiệm vụ sau đây là mô tả xem phần tử phân loại được sử dụng như thế nào. Chỗ trống thứ nhất trong hằng phân loại cần phải viết biến vào, chỗ trống thứ hai - viết công thức, chẳng hạn như: {x:xÎy}. Ta lấy điều khẳng định: uÎ{x:xÎy} làm tiên đề khi và chỉ khi u là tập hợp và uÎy Tổng quát hơn, mỗi một khẳng định có dạng sau được xem là tiên đề: uÎ{x:…x…} khi và chỉ khi u là tập hợp và …u… Ở đây giả thiết “…x…” là một công thức nào đó và “…u…” là một công thức có từ công thức trên nếu như ở mọi chỗ “x” được thay thế bằng “u”. Thành thử uÎ {x:xÎy và zÎx} khi và chỉ khi u là tập hợp, uÎy và zÎu.
Lược đồ tiên đề này phản ánh chính xác phương pháp trực quan thông thường xây dựng các lớp chỉ trừ ra yêu cầu: “u là tập hợp”. Hoàn toàn rõ ràng đó là một yêu cầu không tự nhiên và một cách trực quan hoàn toàn không là điều mong muốn. Tuy nhiên, nếu bác bỏ nó thì có thể xây dựng được một mâu thuẫn chỉ cần xuất phát từ một tiên đề về rộng (xem định lý 39 và phần biện luận trước đó). Sự phức tạp này, tới lượt nó, đòi hỏi cần tới công việc kỹ thuật lớn, liên quan tới sự tồn tại của các tập hợp, là sự trả giá cho việc tránh khỏi những phi lý hiển nhiên. Thêm vào đó rất có thể là những phi lý ít hiển nhiên hơn vẫn còn.
LƯỢC ĐỒ PHÂN LOẠI CÁC TIÊN ĐỀ (TIẾP THEO)
Để phát biểu chính xác lược đồ phân loại các tiên đề cần phải qui ước thế nào là một công thức.
Thống nhất xem là:
(a) Kết quả của phép thế “a” và “b” bằng các biến vào một hệ thức bất kỳ trong các hệ thức sau là một công thức:
a = b, aÎb
(b) Kết quả của phép thay thế “a” và “b” bằng các biến, còn “A” và “B” bằng các công thức trong một hệ thức bất kỳ thuộc các hệ thức sau là một công thức:
nếu A, thì B A«B không đúng là A
A và B A hay B
với mỗi a, A với một a nào đó, A
bÎ{a:A}, {a:B}Îb, {a:A}Î{b:B}
Các công thức được xây dựng theo đệ qui bắt đầu từ những công thức ban đầu của (a) bằng cách áp dụng các cấu trúc được (b) cho phép.
II. Lược đồ phân loại các tiên đề
Chúng ta thu được một tiên đề nếu trong phát biểu sau đây “a” và “b” được thay thế bằng các biến “A” bởi một công thức A và “B” bởi công thức thu được từ A bằng cách thay thế mỗi lần xuất hiện các biến thay thế a bằng biến thay thế b:
Với mỗi b, bÎ{a:A} khi và chỉ khi b là một tập hợp và có B.
CƠ SỞ ĐẠI SỐ LỚP
Những tiên đề được phát biểu từ trước tới nay cho phép suy ra một loạt định lý từ các kết quả logic.
2. Định nghĩa: xÈy={z:zÎx hay z Îy}
3. Định nghĩa: xÇy={z:zÎx và z Îy}
Lớp x È y được gọi là hợp của các lớp x và y, còn xÇy được gọi là giao của x và y.
4. Định lý: zÎxÈy khi và chỉ khi zÎx hay zÎy và zÎxÇy khi và chỉ khi zÎx và zÎy.
CHỨNG MINH: Do tiên đề phân loại, zÎxÈy khi và chỉ khi zÎx hay zÎy và z là tập hợp. Nhưng do định nghĩa của tập hợp (định nghĩa 1) zÎx hay zÎy và z là tập hợp khi và chỉ khi zÎz hay zÎy. Điều khẳng định về giao được chứng minh tương tự.
5. Định lý: xÈx = x và xÇx=x
6. Định lý: xÈy = yÈx và xÇy = yÇx
7. Định lý: (xÈy) È z = x È (y È z) và (x Ç y) Ç z = x Ç (y Ç z)
Các định lý đó chứng tỏ các phép toán hợp và giao là giao hoán và kết hợp theo nghĩa thông thường. Các luật phân phối được viết dưới đây:
8. Định lý: x Ç (y È z) = (x Ç y) È((x Ç z) và x È (y Ç z)
= (x È y) Ç (x È z)
9. Định nghĩa: x Ïy khi và chỉ khi x Î y là sai.
10. Định nghĩa: \x={y: y Ï x}
Lớp \x gọi là phần bù (của lớp) x
11. Định lý: \(\x) = x
12. Định lý (Đờ Moocgăng). \(xÈy) = (\x) Ç (\y) và \(xÇy) = (\x) È (\y)
CHỨNG MINH. Ta sẽ chỉ chứng minh cho điều khẳng định thứ nhất. Với mỗi z, zÎ\(xÈy) khi và chỉ khi z là tập hợp và zÎxÈy là sai, theo tiên đề phân loại và địn nghĩa 10. Theo định lý 4 công thức zÎxÈy tương đương với công thức: zÎx hay zÎy. Do đó zÎ(xÈy) khi và chỉ khi z là tập hợp, zÏx và zÏy tức là zÎ\x và zÎ\y. Lại áp dụng định lý 4, ta kết luận,
zÎ\(xÈy) tương đương với z Î (\x)Ç(\y) có nghĩa là \(xÈy) = (\x)Ç(\y) theo tiên đề về rộng.
13. Định nghĩa x\y = xÇ(\y)
Lớp x\y được gọi là hiệu (của các lớp) x và y hay là phần bù của y đối với x.
14. Định lý. xÇ(y\z) = (xÇy)\z
Mệnh đề ((xÈ(y\z)=(xÈy)\z)) xem ra rất đáng nghi nhưng lúc này chưa thể xây dựng được một phản ví dụ. Nói chính xác hơn, bằng các tiên đề được chấp nhận cho tớ nay chưa thể chứng minh phủ định của mệnh đề đó: có tồn tại một mô hình trong đó thỏa mãn nhóm tiên đề ban đầu đó và sao cho zÎt với mọi x và y (không có các tập hợp). Chứng minh phủ định của mệnh đề đó chỉ làm được sau khi đã có các tiên đề mà bây giờ ta sẽ phát biểu.
15. Định nghĩa.0= {x: x ¹ x}
Lớp 0 gọi là lớp trống hay là không
16. Định lý. xÏ 0
17. Định lý. 0 È x = x và 0 Ç x=0
18. Định nghĩa:U = {x: x = x}
Lớp U được gọi là vũ trụ
19. Định lý. xÎU khi và chỉ khi x là tập hợp.
20. Định lý. xU = U
21. Định lý.\0= U và \U=0
22. Định nghĩa.Çx={z: với mỗi y, nếu yÎ x thì zÎy}
23. Định nghĩa. Èx = {x: với một y nào đó zÎy và yÎx}
Lớp Çx được gọi là là giao của các phần tử của lớp x. Chú ý các phần tử của các phần tử của lớp x được dùng làm các phần tử của lớp Çx. Chúng có thểt huộc cũng có thể không thuộc lớp x. Lớp Èx được gọi là hợp của các phần tử của lớp x. Chú ý là tập hợp z thuộc Çx (hay xÈx) khi và chỉ khi z thuộc mỗi một (tương ứng một nào đó) phần tử của lớp x.
24. Định lý. Ç0 = U và È 0 =0
Chứng minh. zÎ0 tương đương với z là tập hợp và z thuộc mỗi một phần tử của lớp 0. Vì (định lý 16) không tồn tại các phần tử của lớp 0, nên z tương đương với z là tập hợp. Từ đó theo định lý 19 và tiên đề về rộng suy ra Ç 0 = U. Điều khẳng định thứ hai cũng chứng minh được dễ dàng.
25. Định nghĩa. x Ì y khi và chỉ khi với mỗi z, nếu z Î x thì z Î y.
Lớp x gọi là lớp con của lớp y, hay chứa trong lớp y khi và chỉ khi x Ì y.
Điều hết sức quan trọng là đừng lẫn “Ì” với “Δ. Chẳng hạn 0 Ì 0. tuy nhiên 0 Î 0 là không đúng.
26. Định lý. 0 Ì x và x Ì U
27. Định lý. (x=y) tương đương với (x Ì y và y Ì x)
28. Định lý. Nếu x Ì y và y Ì z, thì x Ì z
29. Định lý. (x Ì y) tương đương (x È y = y)
30. Định lý. (x Ì y) tương đương (x Ç y = x)
31. Định lý. Nếu x Ì y thì x ÌÈ y và Ç y ÌÇ x
32. Định lý: Nếu x Ì y thì x ÌÈ y và Ç y Ì x
Những định nghĩa và định lý trên rất hay được dùng.
SỰ TỒN TẠI CỦA CÁC TẬP HỢP
Mục này giành cho vấn đề về sự tồn tại của các tập hợp, và bước đầu xây dựng các ánh xạ và những quan hệ ban đầu khác của lý thuyết tập hợp.
III. Tiên đề các tập hợp con. Nếu x là một tập hợp thì có tồn tại một tập hợp y sao cho với mỗi z, nếu z Ì x thì z Î y.
33. Định lý: Nếu x là tập hợp và z Ì x thì z là tập hợp.
CHỨNG MINH: Theo tiên đề các tập hợp con, với mọi tập hợp x đều có tồn tại y sao cho z Ì x thì z Î y. Có nghĩa là theo định nghĩa 1, z là một tập hợp. (Chú ý là trong chứng minh này, không dùng hết sức mạnh của tiên đề các tập hợp con vì lập luận không đòi hỏi y là một tập hợp).
34. Định lý. 0 = ÇU và U =ÈU.
CHỨNG MINH: Nếu xÎÇU thì x là một tập hợp và vì 0Ìx nên theo định lý 33, 0 là một tập hợp. Có nghĩa 0ÎU và mỗi phần từ của lớp ÇU đều thuộc lớp 0. Do đó trong ÇU không có phần tử nào. Rõ ràng là (định lý 26) ÈUÌU. Nếu xÎU thì x là tập hợp và do tiên đề các tập hợp con, có tồn tại một tập hợp y sao cho nếu zÌx thì zÎy. Nói riêng xÎy và vì yÎU, ta có xÎÈU. Do đó UÌÈU. Từ đó suy ra đẳng thức cần tìm.
35. Định lý. Nếu x¹0 thì Ç x là một tập hợp.
CHỨNG MINH: Nếu x¹0 thì với một y nào đó, yÎx. Nhưng y là một tập hợp và vì theo định lý 32ÇxÌy nên từ định lý 33 suy ra Çx là một tập hợp.
36. Định nghĩa: 2x = {y: y Ì x}.
37. Định lý: U= 2U.
CHỨNG MINH: Mỗi phần tử của lớp 2U là một tập hợp và do đó thuộc U. Mỗi phần tử của lớp U là một tập hợp và được chứa trong U (định lý 26) và có nghĩa thuộc lớp 2U.
38. Định lý: Nếu x là một tập hợp thì 2x là một tập hợp và với mỗi y, yÌ x khi và chỉ khi yÎ2x.
Cần chú ý là dựa trên cơ sở các tiên đề đã được kể ra từ trước đến nay thì không thể chứng minh được sự tồn tại của các tập hợp, nhưng có thể chứng minh rằng có tồn tại một lớp không là tập hợp. Đặt R={x:xÏx}. Theo tiên đề phân loại RÎR khi và chỉ khi RÏR và R là tập hợp. Suy ra R không là tập hợp. Ta nhận thấy là nếu trong tiên đề phân loại không có các từ « …là một tập hợp» thì sẽ xuất hiện ngay một mâu thuẫn rõ ràng: RÎR khi và chỉ khi RÏR. Đó là nghịch lý Rátxen. Từ lập luận đó suy ra U không là tập hợp vì RÌU và áp dụng định lý 33. (Từ tiên đề tính chính qui suy ra R=U. Tiên đề này cũng cho phép chứng minh theo một cách khác rằng U không là một tập hợp).
39. Định lý:U không là một tập hợp.
40. Định nghĩa: {x}={z: nếu xÎU thì z=x}.
Lớp một phần tử của phần tử x là {x}
Định nghĩa này là một ví dụ về một thủ thuật rất thuận lợi. Nếu x là một tập hợp thì {x} là lớp mà phần tử duy nhất của nó là x. Tuy nhiên nếu x không là tập hợp thì {x}=U (điều đó được khẳng định trong các định lý 41 và 43). Thực ra trường hợp lý thú nhất là khi x là một tập hợp và với trường hợp này cũng đạt được cùng một kết quả bằng định nghĩa tự nhiên hơn: {x} được lấy là {z:z=x}. Tuy nhiên việc phát biểu các kết quả được đơn giản rất nhiều nếu như việc tính toán được thu xếp sao cho U là kết quả của áp dụng việc tính toán ở bên ngoài miền tác dụng tự nhiên của nó.
41. Định lý: Nếu x là tập hợp thì với mỗi y, yÎ{x} khi và chỉ khi y=x
42. Định lý: Nếu x là một tập hợp thì {x} cũng là một tập hợp
CHỨNG MINH: Nếu x là một tập hợp thì {x}Ì2x và 2x là một tập hợp
43. Định lý: {x}=U khi và chỉ khi x không là tập hợp.
CHỨNG MINH: Nếu x là tập hợp thì {x} là tập hợp và do đó {x} không bằng U. Nếu x không là tập hợp thì xÏU và {x}=U theo định nghĩa.
44. Định lý: Nếu x là tập hợp thì Ç{x}=x và È{x}=x. Nếu x không là tập hợp thì Ç{x}=0 và È{x}=U.
CHỨNG MINH: Áp dụng các định lý 34 và 41.
IV. Tiên đề của hợp: Nếu x là một tập hợp và y là một tập hợp thì xÈy là một tập hợp.
45. Định nghĩa: {xy} = {x} È {y}
Lớp {xy} là một cặp không sắp thứ tự
46. Định lý: Nếu x là một tập hợp và y là một tập hợp thì {xy} là một tập hợp và zÎ{xy} khi và chỉ khi z=x hay z=y ; {xy}=U khi và chỉ khi x hay y không là tập hợp.
47. Định lý: Nếu x và y là các tập hợp thì Ç{xy}=xÇy và È{xy}=xÈy. Nếu hoặc x hoặc y không là tập hợp thì Ç{xy}=0 và È{xy}=U.
CÁC CẶP CÓ SẮP THỨ TỰ: QUAN HỆ
Mục này giành cho các tính chất của những cặp có sắp thứ tự và của những quan hệ. Tính chất đặc trưng của các cặp có sắp thứ tự là định lý 55. Nếu x và y là các tập hợp thì (x,y) = (u, v) khi và chỉ khi x = u và y = v.
48. Định nghĩa: (x, y) = {{x} {xy}}
Lớp (x, y) gọi là cặp có sắp thứ tự.
49. Định lý: (x, y) là tập hợp khi và chỉ khi x là một tập hợp và y là một tập hợp ; nếu (x, y) không là một tập hợp thì (x, y) = U.
50. Định lý: Nếu x và y là các tập hợp thì
È (x, y) = {xy}, Ç (x, y) = {x} ; ÈÇ (x,y) = x,
ÇÇ(x, y) = x, ÈÈ (x, y) = x È y và ÇÈ (x, y) = x Ç y.
Nếu hoặc x hoặc y không phải là tập hợp thì:
ÈÇ (x, y) = 0, ÇÇ (x, y) = U, ÈÈ (x, y) = U và ÇÈ (x, y) = 0.
51. Định nghĩa: 10 coord.z = ÇÇz.
5. Định nghĩa: 20 coord.z = (ÇÈz) È (ÈÈz) \ (ÈÇz).
Những định nghĩa này sẽ được dùng chỉ khi z là một cặp có sắp thứ tự, trừ ra một ngoại lệ. Toạ độ thứ nhất của lớp z là 10 coord.z và toạ độ thứ hai của lớp z là 20coord.z.
53. Định lý: 20coord.U = U.
54. Định lý: Nếu x và y là các tập hợp thì 10coord. (x, y) = x và 20coord.(x, y)=y. Nếu hoặc x, hoặc y không là tập hợp thì 10coord.(x,y)=U. và 20coord.(x,y) = U.
CHỨNG MINH: Nếu x và y là các tập hợp thì đẳng thức cần tìm đối với 10coord được suy từ 50 và 51. Đẳng thức cần tìm đối với 20rcood.do 50 và 52 đưa về việc chứng minh rằng y = (xÇy) È ((xÈy) \ x). Trực tiếp thấy là (xÈy) \ x = y \ x và do luật phân phối (y Ç x) È (y Ç \ x) là y Ç (xÈ\x) = yÇU = y. Nếu như chỉ cần một trong các lớp x và y không là tập hợp thì 10coord.(x,y) và 20coord.(x,y) dễ dàng được tính nhờ vào định lý 50.
55. Định lý: Nếu x và y là các tập hợp và (x, y)=(u, v) thì x=u và y=v
56. Định nghĩa: r là một quan hệ khi và chỉ khi với mỗi phần tử z của lớp r đều tồn tại x và y sao cho z = (x, y).
Quan hệ là một lớp mà các phần tử là những cặp có sắp thứ tự.
57. Định nghĩa : r0s = {u : với một x nào đó, một y nào đó và một z nào đó, u = (x, z), (x,y) Î s và (y, z)Î r}.
Lớp r0s gọi là hợp thành của các lớp r và s.
Để tránh những ký hiệu không cần thiết, ta qui ước đồng nhất {(x,z) :…} với {u : với một x nào đó, một z nào đó có u = (x, z) và …}. Thành thử r0s={(x, z): với một y nào đó, (x, y) Î s và (y, z) Î r}.
58. Định lý : (r0s)0t = ro(s0t)
59. Định lý : r0(sÈt) = (r0s) È (r0t) và r0(sÇt) Ì (r0s) Ç (r0t).
60. Định nghĩa : r-1 = {(x, y) : (y, x) Î r}
Nếu r là một quan hệ thì r-1 là quan hệ ngược của r.
61. Định lý : (r-1)-1 = r.
62. Định lý : (r0s)-1 = s-10 r-1.
CÁC HÀM :
Một cách trực quan hàm được đồng nhất với lớp các cặp có sắp thứ tự, làm thành đồ thị của nó. Ở đây chỉ xét những hàm đơn trị, do đó hai cặp có sắp thứ tự phân biệt bất kỳ thuộc một hàm nào đó phải khác nhau ở các toạ độ thứ nhất.
63. Định nghĩa : f là một hàm khi và chỉ khi f là một quan hệ và với mỗi một x, mỗi một y và mỗi một z, nếu (x, y) Î f và (x, z) Î f thì y = z.
64. Định lý : Nếu f là một hàm và g là một hàm thì f0g là một hàm.
65. Định nghĩa: (Miền xác định của f)={x:với một y nào đó, (x,y)Îf}
66. Định nghĩa: (Miền giá trị của f) = {y : với một x nào đó, (x, y)Îf}
67. Định lý : (Miền xác định của U)=U và (miền giá trị của U) = U.
CHỨNG MINH : Nếu x ÎU thì (x,0) và (0,x) thuộc U và có nghĩa x thuộc cả miền xác định lẫn miền giá trị của U.
68. Định nghĩa : f(x) = Ç {y : (x, y) Î f}
Có nghĩa z Î f(x) nếu z thuộc toạ độ thứ hai của mỗi phần tử thuộc f, mà toạ độ thứ nhất của nó là x.
Lớp f(x) được gọi là giá trị của f tại x hay là ảnh của x qua f. Cần chú ý là nếu x là một tập hợp con của miền xác định của f thì f(x) không phải là {y : với một z nào đó, zÎx và y=f(z)}.
69. Định lý : Nếu x (miền xác định của f) thì f(x) = U ; nếu xÎ (miền xác định của f) thì f(x) ÎU.
CHỨNG MINH : Nếu x (miền xác định của f) thì {y : (x, y)Îf}=0 và f(x)=U. (định lý 24). Nếu xÎ (miền xác định của f) thì {y : (x, y)Î f} ¹ 0 và (định lý 35) f(x) là một tập hợp.
Định lý trên không đòi hỏi f là một hàm.
70. Định lý : Nếu f là một hàm thì f = {(x,y) : y = f(x)}
71. Định lý : Nếu f và g là các hàm thì f = g khi chỉ khi f(x) = g(x) với mỗi một x.
Hai tiên đề sau cho lớp tất cả các tập hợp thêm những nét mới.
V. Tiên đề thế : Nếu f là một hàm và miền xác định của f là một tập hợp thì miền giá trị của f cũng là một tập hợp.
VI. Tiên đề liên kết: Nếu x là một tập hợp thì È x cũng là một tập hợp.
72. Định nghĩa : x ´ y = {(u, v) : u Î x và v Î y}
x ´ y được gọi là tích Đềcác của các lớp x và y
73. Định lý: Nếu u và y là các tập hợp thì {u} ´ y cũng là một tập hợp
CHỨNG MINH: Rõ ràng là có thể lập một hàm (cụ thể {(w,z): wÎy và z = (u, w)}) với miền xác định là y và miền giá trị là {u} ´ y. Sau đó áp dụng tiên đề thế.
74. Định lý : Nếu x và y là các tập hợp thì x ´ y cũng là một tập hợp
CHỨNG MINH: Giả sử f là một hàm, (miền xác định của f) = x và f(u)= {u} ´ y với u thuộc x ; (chỉ có một hàm, cụ thể là f = (u, x) : uÎx và z = {u} ´ y. Theo tiên đề thế, miền giá trị của f là một tập hợp. Việc tính trực tiếp chứng tỏ rằng (miền giá trị của f) = {z : với một u nào đó, u Î x và z = {u} ´ y}. Do đó È (miền giá trị của f) là một lớp mà theo tiên đề liên kết là một tập hợp, là x ´ y.
75. Định lý : Nếu f là một hàm và miền xác định của f là một tập hợp thì f là một tập hợp.
CHỨNG MINH : Thực vậy f Ì (miền xác định của f) ´ (miền giá trị của f)
76. Định nghĩa : yx = {f : f là hàm, (miền xác định của f) = x và (miền giá trị của f) Ì y}.
77. Định lý : Nếu x và y là các tập hợp thì yx cũng là một tập hợp.
CHỨNG MINH: Nếu f Î yx thì f Ì x ´ y và vế phải là tập hợp; do đó f Î 2x´y (định lý 38) và 2x´y là một tập hợp. Vì yx Ì 2x´y nên từ tiên đề các tập hợp con suy ra yx là một tập hợp.
Để thuận tiện ta đưa thêm ba định nghĩa.
78. Định nghĩa : f được cho trên x khi và chỉ khi f là một hàm và x = (miền xác định của f).
79. Định nghĩa : f là hàm vào y khi và chỉ khi f là hàm và (miền giá trị của f) Ì y.
80. Định nghĩa : f là hàm lên y khi và chỉ khi f là hàm và (miền giá trị của f) = y.
SỰ SẮP TỐT
Nhiều kết quả của mục này không cần cho việc xây dựng các số nguyên, các tự số và bản số sau này. Ta đưa vào vì những kết quả này bản thân chúng là lý thú và vì những phương pháp chứng minh chúng là những hình thức đơn giản của các cấu trúc được dùng sau này.
Vì các kết quả kiến thiết cơ sở đều đã được chứng minh, nên ta có thể đi nhanh hơn.
81. Định nghĩa : xry khi và chỉ khi (x, y) Î r.
Nếu xry, ta nói x có quan hệ r với y hay x là r - đứng trước y.
82. Định nghĩa : r liên thông x khi và chỉ khi từ u và v thuộc x suy ra hoặc urv hoặc vru
83. Định nghĩa : r là bắc cầu khi và chỉ khi từ u, v và w là các phần tử của lớp x và có urv và vrw thì suy ra urw.
Nếu r là bắc cầu trong x, ta nói r sắp thứ tự x. Thuật ngữ «u là r - đứng trước v» đặc biệt đạt nếu u và v thuộc x và r sắp thứ tự x.
84. Định nghĩa : r là phản ứng trong x khi và chỉ khi từ u và v là các phần tử của lớp x và urv là đúng thì suy ra vru là không đúng.
Nói cách khác, nếu u Î x, v Î x và u là r- đứng trước v thì v không r- đứng trước u.
85. Định nghĩa : x ¹ y khi và chỉ khi x = y là không đúng
86. Định nghĩa : z là r- phần tử thứ nhất của lớp x khi và chỉ khi zÎx và từ y Î x với z ¹ y thì yrz là sai
87. Định nghĩa : r sắp tốt x khi và chỉ khi r liên thông x và từ y Ì x và y ¹ 0 suy ra trong lớp y có r- phần tử thứ nhất.
88. Định lý : Nếu r sắp tốt x thì r là bắc cầu trong x và r là phản ứng trong x.
CHỨNG MINH : Nếu u Î x, v Î x, urv và vru thì {uv} Î x và do đó trong {uv} có tồn tại r- phần tử thứ nhất. Có hoặc z = u, hoặc z - v và do đó hoặc vru là sai hoặc urv là sai. Mâu thuẫn đó chứng tỏ r là phản ứng trong x. Nếu r không bắc cầu trong x thì với những phần tử u, v và w nào đó của lớp x sẽ có
urv, vrw và r liên thông x. Nhưng khi đó trong tập hợp {u}{v}{w} không có r – phần tử thứ nhất.
89. Định nghĩa. y là r – thiết diện của x khi và chỉ khi y x, r sắp tốt x và từ ux, v y và urv suy ra u y.
Do đó tập hợp con y của lớp x được gọi là một r – thiết diện khi và chỉ khi r sắp tốt x và không có phần tử nào thuộc x\y lại r - đứng trước một phần tử của y.
90. Định lý. Nếu n 0 và mỗi phần tử của lớp n là một r – thiết diện của lớp, thì n và n là các r – thiết diện của lớp x.
91. Định lý. Nếu y là một r – thiết diện của lớp x và y x thì y = {u:uÎx và urv} với một v nào đó thuộc x.
Chứng minh: Nếu y là mọt r – thiết diện của lớp x và y ≠x thì trong x\y có r – phần tử thứ nhất v. Nếu u Îx\y và có nghĩa u Îy. Do đó {u:uÎx và urv} Ì y. Mặt khác nếu u Î y thì v Î y và y là một r – thiết diện, vru là sai; có nghãi là urv. Từ đó suy ra đẳng thức phải chứng minh.
92. Định lý. Nếu x và y là các r – thiết diện của lớp z thì x Ì y hoặc y Ìx.
93. Định nghĩa.f là r – s – bảo toàn thứ tự khi và chỉ khi f là một hàm, r sắp tốt miền xác định của f, s sắp tốt miền giá trị f và với mọi u, v bất kỳ thuộc miền xác định f mà thỏa mãn điều kiện urv thì ta có f(u) s f(v).
94. Định lý. Nếu x Ì y và f là một hàm r – r – bảo toàn thứ tự được cho trên x vào y thì với mỗi một u thuộc x, f (u) ru là sai.
CHỨNG MINH. Phải chứng minh rằng lớp {u : u Î x và f(u) ru} là trống. Nếu không như vậy, thì trong lớp đó phải tìm được một r – phần tử thứ nhất v. Khi đó f(v)rv và nếu urv thì urf(u) bay u =f(u). Vì f(v)ru nên f (v)rf (f(v)) hay f(v)=f(f(v)), nhưng vì f là r – ra bảo toàn thứ tự nên f(v)=f(f(v)), dẫn tới mâu thuẫn.
Thành thử một hàm r – ra bảo toàn thứ tự không thể ánh xạ một phần tử thuộc miền xác định vào một phần tử r - đứng trước nó.
Chứng minh giống như chứng minh của định lý 94 dựa vào việc xét r – phần tử thứ nhất mà với nó định lý là sai, được gọi là một chứng minh bằng qui nạp.
95. Định nghĩa. f là một hàm một - một khi và chỉ khi f và f-1 là những hàm.
Điều đó tương đương với đòi hỏi f là một hàm và nếu x và y là hai phần tử phân biệt thuộc miền xác định của nó thì f(x) ≠ f(y).
96. Định lý. Nếu f là r – s- bảo toàn thứ tự thì f là một hàm một – một và f -1 là s – r –bảo toàn thứ tự.
CHỨNG MINH. Nếu f (u) = f(v) thì không thể có urv hay vru vì trong trường hợp này f (u) sf (v) hay f(v) st(u). Từ đó u = nv và f là một hàm một – một. Nếu f(u) sf(v) thì khi đó u ≠ v và nếu vru thì f(v) sf (u) dẫn tới mâu thuẫn. Do đó f-1 là s – r bảo toàn thứ tự.
97. Định lý. Nếu f và g là r – s bảo toàn thứ tự, miền xác định của f và miền xác định của g là những r – thiết diện của lớp x, còn miền giá trị của f và miền giá trị của g là những s – thiết diện của lớp y thì f Ì g hay g Ì f.
CHỨNG MINH. Theo định lý 92 hoặc (miền xác định của f) Ì (miền xác định của g), hoặc (miền xác định của g) Ì (miền xác định của f). Định lý sẽ được chứng minh nếu ta chứng tỏ được rằng f(u) = g(u) với mọi u vừa thuộc miền xác định của f vừa thuộc miền xác định của g. Nếu lớp {z:zÎ (miền xác định của f) Ç (miền xác định của g) và g (z) ≠ f (z)} khác trống, thì trong đó sẽ tồn tại r – phần tử thứ nhất u. Khi đó f(u) ≠ g(u) và có thể giả thiết là f(u) sg(u). Vì miền giá trị của g là một s – thiết diện nên g(v) = f(u) với một v nào đó thuộc x và vru vì f-1 là bảo toàn thứ tự. Nhưng u là r - điểm thứ nhất trong số những điểm tại đó các hàm là phân biệt, và do đó f(v) = g(v) = f(u), điều đó dẫn tới mâu thuẫn.
98. Định nghĩa. f là r – s bảo toàn thứ tự trong x và y khi và chỉ khi r sắp tốt x, s sắp tót y, f là r – s - bảo toàn thứ tự, miền xác định của f là r – thiết diện của lớp x và miền giá trị của f là s – thiết diện của lớp y.
Theo định lý 97, nếu f và g là r - s - bảo toàn thứ tự trong x và y thì fÌg hay gÌ f.
99. Định lý. Nếu r sắp tốt x và s sắp tốt y thì có tồn tại một hàm f, r – s bảo toàn thứ tự trong x và y sao cho hoặc (miền xác định của f =x hoặc (miền giá trị của f)= y.
CHỨNG MINH. Đặt f = {(u,v) : u Î x và với một hàm g nào đó r – s bảo toàn thứ tự trong x và y, u Î (miền xác định của g) và (u, v) Î g}. Theo định lý trên f là một hàm và dễ thấy là miền xác định của nó là một r – thiết diện của lớp x còn miền giá trị của nó là một s – thiết diện của lớp y. Từ đó f là r – s – bảo toàn thứ tự trong x và y; chỉ còn phải chứng minh rằng hoặc (miền xác định của f) = x, hoặc (miền giá trị của f) = y. Giả sử không một điều kiện nào được thỏa mãn. Khi đó có tồn tại r – phần tử thứ nhất u trong lớp x \ (miền xác định của f) và s – phần tử thứ nhất v trong lớp y \ (miền giá trị của f). Dễ thấy là hàm f È {(u,v)} là r – s- bảo toàn thứ tự trong x và y. Khi đó (u,v)Î f do định nghĩa của f và từ đó m Î (miền xác định của f). Đó là điều mâu thuẫn.
Trong một trường hợp có thể phát biểu được rằng khả năng nào đó phần kết luận của định lý trên được thỏa mãn: nếu x là một tập hợp và y không là tập hợp thì theo tiên đề thế đẳng thức “(miền giá trị của f) = y” là không thể có được.
100. Định lý. Nếu r sắp tốt x, s sắp tốt y, x là tập hợp và y không là tập hợp thì khi đó còn tồn tại một hàm duy nhất, r – s- bảo toàn thứ tự trong x và y với miền xác định là x.
Trong mục này các tự số sẽ được định nghĩa và thiết lập các tính chất cơ bản của chúng. Trước khi biện luận về các tự số, ta tiếp nhận thêm một tiên đề.
Trước tiên có thể xảy ra là lớp x là một phần tử duy nhất của lớp y và y là phần tử duy nhất của lớp x. Một cách tổng quát hơn, có thể có một lớp z mà mỗi phần tử của nó đều chứa các phần tử của lớp z và chỉ những phần tử của lớp đó. Tiên đề sau đây loại trừ khả năng đó bằng cách đòi hỏi là trong mỗi lớp khác trống đều có tồn tại một phần tử mà các phần tử của nó đều không thuộc z.
VII. Tiên đề chính quy. Nếu x ¹ 0 thì trong lớp x có một phần tử y sao cho x Ç y = 0.
101. Định lý. x Ï x.
CHỨNG MINH. Nếu x Î x thì x là tập hợp khác trống và x là phần tử duy nhất của lớp x. Theo tiên đề chính qui, có tồn tại y Î {x} sao cho y Ç {x} = 0, và nhất thiết y = x. Nhưng khi đó y Î y Ç {x}, từ đó suy ra mâu thuẫn.
102. Định lý. x Î y và y Î x là sai.
CHỨNG MINH. Nếu x Î y và y Î x thì x và y là các tập hợp và chúng là các phần tử duy nhất của lớp {x : z = x hay z = y}. Áp dụng tiên đề chính qui vào lớp sau cùng đó sẽ dẫn tới mâu thuẫn đúng như trong chứng minh của định lý trước.
Đương nhiên có thể mở rộng định lý vừa rồi cho trường hợp có quá hai tập hợp. Thực vậy, từ tiên đề chính qui suy ra một kết quả mạnh hơn, phát biểu một cách trực quan như sau: không thể tồn tại một dãy sao cho xn+1 Î xn với mỗi một n. Ta buộc phải cho qua phát biểu chính xác của kết quả đó.
103. Định nghĩa. E = {(x, y) : x Î y}.
Lớp E được gọi là Î quan hệ. Chú ý là nếu x Î y và y không là một tập hợp thì (x, y) = u theo định lý 54 và (x, y) Ï E.
104. Định lý. E không là một tập hợp.
CHỨNG MINH. Nếu E Î U thì {E} Î U và (E, {E}) Î E. Nhớ lại là (x, y) = {{x} {xy}} và nếu (x, y) là tập hợp thì z Î (x, y) khi và chỉ khi z = {x} hay z = {xy}. Do đó E Î {E} Î {{E}{E{E}}} Î E. Thành thử ta có a Î b Î c Î a; áp dụng tiên đề chính qui cho lớp {x : x = a hay x = b hay x = c} ta đi tới mâu thuẫn.
Một sự biện luận không hình thức vê cấu trúc của một ít tự số đầu tiên có thể làm sáng tỏ những quan nhiệm chung tương ứng. Tự số thứ nhất là 0, tự số tiếp theo 1 = 0 È {0}, tiếp theo 2 = 1 È {1} và tiếp theo 3 = 2 È{2}. Chú ý là 0 là phần tử duy nhất của lớp 1; 0 và 1 là các phần tử duy nhất của lớp 2 và 0, 1, 2 là các phần tử duy nhất của lớp 3. Mỗi một tự số đứng trước 3 không những là phần tử mà còn là một tập hợp con của lớp 3. Các tự số được xác định sao cho loại cấu trúc rất đặc biệt đó được bảo toàn
105. Định nghĩa Lớp x là đầy khi và chỉ khi mỗi phần tử của lớp x đều là một tập hợp con của x.
Nói cách khác, x là đầy khi và chỉ khi mỗi phần tử của một phần tử tùy ý của lớp x là một phần tử của lớp x. Một phát biểu tương đương khác: x là đầy khi và chỉ khi E là bắc cầu trong x.
Định nghĩa sau đây của R.M.Roobinsơn.
106. Định nghĩa. x là một tự số khi và chỉ khi E liên thông x và lớp x là đầy.
Điều đó có nghĩa là hai phần tử bất kỳ của lớp x, một phần tử là phần tử của phần tử kia và mỗi phần tử của một phần tử tùy ý của lớp x đều thuộc x.
107. Định lý. Nếu x là một tự số thì E sắp tốt x.
CHỨNG MINH. Nếu u và v là các phần tử của lớp x và uEv thì (định lý 102) vEu là sai; do đó E là phản xứng trong x. Giả sử y là một tập hợp con khác trống của lớp x. Có tồn tại một phần tử u Î y sao cho u Ç y = 0. Khi đó không một phần tử nào của lớp y thuộc u và u là E – phần tử thứ nhất của lớp y.
108. Định lý. Nếu x là một tự số, y Ì x, y ¹ x và lớp y là đầy thì y Î x.
CHỨNG MINH. Nếu uEv và uEy thì uEy vì lớp y là đầy. Có nghĩa y là E- thiết diện của lớp x. Do đó theo định lý 91 trong x có tồn tại một phần tử v sao cho y = {u : u Î x và uEv}. Vì mỗi một phần tử của lớp v là một phần tử của lớp x, nên y = {u, u Î v} và y = v.
109. Định lý. Nếu x là một tự số và y là một tự số thì x Ì y hay y Ì x.
CHỨNG MINH. Lớp x Ç y là đầy; theo định lý trên hoặc x Ç y = x hoặc x Ç y Î x. Trong trường hợp thứ nhất x Ì y. Nếu x Ç y Î x thì x Ç y Ï y vì nếu không ta sẽ có x Ç y Î x Ç y. Vì x Ç y Ï y nên theo định lý trên ta suy ra x Ç y = y. Có nghĩa là y Ì x.
110. Định lý. Nếu x là một tự số và y là một tự só thì hoặc x Î y hoặc yÎ x hoặc x = y.
111. Định lý. Nếu x là một tự số và y Î x thì y là một tự số.
CHỨNG MINH. Rõ ràng là E liên thông y, vì x là đầy và E liên thông x. Quan hệ E là bắc cầu trên y vì E sắp tốt x và y Ì x. Do đó nếu uEp và vEy thì uEy và từ đó y là đầy.
112. Định nghĩa. R = {x : x là một tự số}
113. Định lý R là một tự số và R không là một tập hợp.
CHỨNG MINH: Từ hai định lý sau cùng suy ra E liên thông R và lớp R là đầy. Có nghĩa R là một tự số. Nếu R là một tập hợp thì R Î R, là điều không thể được.
Theo định lý 110, R là tự số duy nhất không là một tập hợp.
114. Định lý. Mỗi một E – thiết diện của lớp R là một tự số.
CHỨNG MINH: Nếu E – thiết diện x của lớp R không bằng R thì theo định lý 91 có tồn tại một phần tử V Î R sao cho x = {u : u Î R và u Î v}. Vì mỗi một phần tử của lớp v là một tự số nên x = {u : u Î v} = v.
115. Định nghĩa. x là tự số khi và chỉ khi x Î R
116. Định nghĩa. x < y khi và chỉ khi x Î y
117. Định nghĩa. x ≤ khi và chỉ khi x Î y hay x = y
118. Định lý. Nếu x và y là các tự số thi x ≤ y khi và chỉ khi x Ì y
119. Định lý. Nếu x là một tự số thì x = {y : y Î R và y < x}
120. Định lý. Nếu x Ì R thì È x là một tự số.
CHỨNG MINH. E liên thông È x theo định lý 110 và 111. Lớp È x là đầy vì các phần tử của lớp x là đầy.
Dễ thấy là nếu x là một tập hợp con của lớp R thì È x là tự số đầu tiên lớn hơn hay bằng mỗi phần tử của x, và dễ thấy là È x là một tập hợp khi và chỉ khi x là một tập hợp. Tuy nhiên ta không cần tới những kết quả đó.
121. Định lý. Nếu x Ì R và x ¹ 0 thì Ç x Î x.
Thực vậy trong trường hợp này Ç x là E – phần tử thứ nhất của x.
122. Định nghĩa. x + 1 = x È {x}.
123. Định lý. Nếu x Î R thì x + 1 là E - phần tử thứ nhất của {y : y Î R và x < y}
CHỨNG MINH. Dễ chứng minh rằng E liên thông x + 1 và x + 1 là đầy và từ đó là một tự số. Nếu có tồn tại một lớp u sao cho x < u và u < x + 1 thì vì x là tập hợp và u Î x È {x} hoặc u Î x và x Î u hoặc u = x và x Î u. Nhưng cả hai kết luận đó đều không thể được (định lý 101 và 102) và định lý được chứng minh.
124. Định lý. Nếu x Î R thì È (x +1) = x
125. Định nghĩa. f ïx = f Ç (x ´ u)
Ta chỉ dùng định nghĩa đó trong trường hợp f là một quan hệ. Trong trường hợp này f ï x cũng là một quan hệ và được gọi là thu hẹp của f trên x.
126. Định lý. Nếu f là một hàm thì f \ x là một hàm với miền xác định là x Ç (miền xác định của f) và (f \ x) (y) với mỗi y thuộc miền xác định của f \ x.
Định lý kết thúc của mục về các tự số khẳng định rằng (một cách trực quan) có thể xác định một hàm trên một tự số sao cho giá trị của nó tại một phần tử bất kỳ thuộc miền xác định được cho trước bằng cách áp dụng một qui tắc đã xác định trước cho các giá trị đã có trước của hàm. Nói chính xác hơn với một hàm g cho trước bất kỳ đều tồn tại một hàm duy nhất f, cho trên một tự số, sao cho f (x) = g (f \ x) với mỗi một tự số x. Thành thử giá trị của f(x) hoàn toàn được xác định bởi hàm g và các giá trị của f tại các tự số đứng trước x.
Việc áp dụng định lý này được gọi là việc xác định hàm theo qui nạp siêu hạn. Chứng minh định lý trên tương tự như chứng minh định lý 99 và cũng cần tới một bổ đề mở đầu cùng loại.
127. Định lý. Giả sử f là một hàm, miền xác định của nó là một tự số nào đó, và f (u) = g(f \ u), với u Î (miền xác định của f). Nếu h cũng là một hàm sao cho miền xác định của ha là một tự số nào đó và h (u) = g(h \ u), với u Î (miền xác định của h), thì h Ì f hoặc f Ì h.
CHỨNG MINH. Vì cả miền xác định của f lẫn miền xác định của h đều là các tự số nên có thể giả thiết rằng (miền xác định của f) Ì (miền xác định của h) (nếu không sẽ có bao hàm thức ngược lại theo định lý 109). Chỉ còn phải chứng minh rằng f(u)= h (u) với u Î (miền xác định của f). Giả thiết ngược lại là giả sử u là E – phần tử thứ nhất thuộc miền xác định của f sao cho f(u) ¹ h(u). Khi đó f (v) = h(v) với mỗi tự số v đứng trước u. Do đó f \ u = h\ u. Khi đó f(u) = g (f \ u) = h(u) là điều dẫn tới mâu thuẫn.
128. Định lý. Với mỗi một g đều tồn tại một hàm duy nhất f sao cho miền xác định của f là một tự số và f (x) = g(f \ x) với mỗi một tự số x.
CHỨNG MINH. Giả sử f = {(u, v) : u Î R và tồn tại một hàm h sao cho miền xác định của h là một tự số, h (z) = g (h\ z) với z Î (miền xác định của h) và (u, v) Î h}. Từ định lý trước suy ra f là một hàm. Rõ ràng miền xác định của f là một E – thiết diện của lớp R và từ đó là một tự số. Hơn nữa nếu h là một hàm trên một tự số sao cho h(z) = g(h \ z) với z thuộc (miền xác định của h) thì h Ì f, và nếu z Ì (miền xác định của f) thì f(z) = g(h \ z).
Sau hết, giả sử x Î R \ (miền xác định của f). Khi đó f (x) = U theo định lý 69 và vì miền xác định của f là một tập hợp, nên f là một tập hợp (định lý 75). Nếu g(f \ x) = g(f) = U thì suy ra đẳng thức f(x) = g(f \ x). Trong trường hợp ngược lại g(f) sẽ là một tập hợp (lại định lý 69). Khi đó nếu y và E – phần tử thứ nhất của lớp R \ (miền xác định của f) và h = f È {y, g (f))} thì miền xác định của h là một tự số và h (z) = g(h \ z ) với z Î (miền xác định của h). Do đó h Ì f và y Î (miền xác định của f), là điều mâu thuẫn. Do đó g(f) = U và định lý được chứng minh.
Cơ chế của định lý này đáng được bình luận. Nếu miền xác định của f không là R thì g (f) = u, và f (x) = u với mỗi một tự số x sao cho (miền xác định của f) ≤ x. Nếu g (0) = u thì f = 0.
CÁC SỐ NGUYÊN
Trong mục này các số nguyên sẽ được định nghĩa và các tiên đề Pơanô, xem như các định lý sẽ được chứng minh. Các số thực có thể được xây dựng từ các số nguyên nhờ vào việc dùng các tiên đề đó và hai sự kiện.
1) Lớp các số nguyên là một tập hợp (định lý 138).
2) Có thể xác định một hàm trên các số nguyên bằng quy nạp (định lý 0.13; sự kiện này có thể được suy ra như một hệ quả của định lý 128).
Cần thêm một tiên đề.
VIII. Tiên đề vô hạn. với một y nào đó, y là một tập hợp, 0 Î y và
x È {x} Î y mỗi khi x Î y.
Nói riêng 0 là một tập hợp vì 0 được chứa trong một tập hợp.
129. Định nghĩa. x là một số nguyên khi và chỉ khi x là một tự số, và
E-1 sắp tốt x.
130. Định nghĩa. x là E – phần tử cuối cùng của lớp x khi và chỉ khi x là E-1 – phần tử đầu tiên của lớp y.
131. Định nghĩa. w = {x : x là một số nguyên}
132. Định lý. Một phần tử tùy ý của một số nguyên là một số nguyên.
CHỨNG MINH. Mỗi một phần tử của một số nguyên x là một tự số và là một tập hợp con của lớp x, và x được sắp tốt bởi E-1.
133. Định lý, Nếu y Î R và x là E – phần tử cuối cùng của lớp x, thì y=x + 1
CHỨNG MINH. Theo định lý 123, x + 1 là E – phần tử đầu tiên của lớp {z : z Î R và x < z}. Từ đó x + 1 ≤ y, vì y Î R và x < y. vì x là E – phần tử cuối cùng của lớp y và x < x + 1, nên x + 1 < y là sai.
134. Định lý. Nếu x Îw thì x + 1 Îw
135. Định lý. 0 Îw và nếu x Îw thì 0 ¹ x + 1
Nói cách khác, 0 không là kế tiếp của một số nguyên nào.
136. Định lý. Nếu x và y là các phần tử của lớp w và x + 1 = y + 1 thì x = y
CHỨNG MINH. Theo định lý 124, nếu x Î R thì È (x + 1) = x
Định lý sau đây là nguyên lý của phép qui nạp toán học.
137. Định lý. Nếu x Ìw, 0 Î x và u + 1Î x mỗi khi u Î x thì x = w
CHỨNG MINH. Giả sử x ¹w. Ký hiệu y là E – phần tử đầu tiên của lớp w \ x và chú ý là y ¹ 0. Vì y Ì y + 1 và y + 1 là một số nguyên nên trong y có một E – phần tử cuối cùng u; rõ ràng là u Î x. Khi đó theo định lý 123, y = u + 1 có nghĩa y Î x. Đó là điều mâu thuẫn.
Các định lý 134, 135, 136 và 137 là các tiên đề Pơanô đối với các số nguyên.
Định lý sau chứng tỏ w là một tập hợp.
138. Định lý wÎ R.
CHỨNG MINH. Theo tiên đề vô hạn, có tồn tại một tập hợp y sao cho 0 Î y và nếu x Î y thì x + 1 Î y. Theo nguyên lý qui nạp toán học (tức định lý trên) wÇ y = w. Có nghĩa w là một tập hợp vì wÌ y. Vì lớp w gồm các tự số, nên E liên thông w; lớp w là đầy vì mỗi phần tử của một số nguyên là một số nguyên.
TIÊN ĐỀ CHỌN
Bây giờ ta phát biểu tiên đề cuối cùng và suy ra hai hệ quả mạnh.
139. Định nghĩa. c là một hàm chọn khi và chỉ khi c là một hàm và c(x)Î x với mỗi phần tử x thuộc miền xác định của c.
Một cách trực quan, hàm chọn thực hiện việc chọn theo từng phần tử trong mỗi tập hợp thuộc miền xác định của c.
Điều kiện sau đó là dạng mạnh của bổ đề Zecmơlô hay tiên đề chọn.
IX. Tiên đề chọn
Có tồn tại một hàm chọn c, với miền xác định là U \ {0}
Hàm c chọn một phần tử từ mỗi tập hợp khác trống.
140. Định lý. Với mỗi một tập hợp x đều tồn tại một hàm một – một, miền giá trị của nó là x, và miền xác định của nó là một tự số.
CHỨNG MINH. Chứng minh bao gồm việc xây dựng hàm phải tìm theo qui nạp siêu hạn. Ký hiệu g là hàm sao cho g (h) = c(x \ (miền giá trị của h)) trong đó h là một tập hợp bất kỳ và c là hàm chọn, được mô tả trong tiên đề chọn. Theo định lý 128, có tồn tại một hàm f sao cho miền xác định của f là một tự số nào đó và f(u) = g(f\u) với mỗi một tự số u. Khi đó f(u)= c(x \ (miền giá trị của (f\u)), và nếu u Î (miền xác định của f) thì f(u) Îx \ (miền giá trị của (f\u)), Nhưng f là một hàm một – một vì nếu f(v) = f(u) và u < v thì f(v) Î (miền giá trị của (f\v)) và điều đó mâu thuẫn với f(v) Î x \ (miền giá trị của (f\v)). Vì f là hàm một – một nên đẳng thức “(miền xác định của f) = R” là không thể có. Thực vậy f-1 là hàm, miền xác định của nó là một lớp con của lớp x và do đó là một tập hợp. Từ đó suy ra miền giá trị của f-1 là một tập hợp theo tiên đề thế và R không là tập hợp. Do đó (miền xác định của f) Î R. Vì (miền xác định của f) Ï (miền xác định của f) nên f (miền xác định của f) = Uvà có nghĩa là c(x \ (miền giá trị của f)) = U . Vì miền xác định của c là U \{0} nên x \ (miền giá trị của f) = 0 Từ đó suy ra f là hàm phải tìm.
141. Định nghĩa. n là một tổ khi và chỉ khi, từ x và y là các phần tử của lớp n, suy ra x Ì y hay y Ì x.
Kết quả này cần dùng trong chứng minh định lý 143.
142. Định lý. Nếu n là một tổ và mỗi phần tử của lớp n đều là một tổ thì Èn là một tổ.
CHỨNG MINH. Nếu x Î m, m Î n, y Î p và p Î n thì hoặc m Ì p hoặc p Ì m vì n là một tổ. Giả thiết là m Ì p. Khi đó x Î p và y Î p, và vì p là một tổ nên hoặc x Ì y, hoặc y Ì x
Định lý sau là nguyên lý tối đại Haudơđooc. Nó khẳng định sự tồn tại của một tổ tối đại trong một tập hợp bất kỳ. Chứng minh định lý này có liên hệ chặt chẽ với chứng minh định lý 140.
143. Định lý. Với một tập hợp x bất kỳ đều tồn tại một tổ n sao cho n Ì x và nếu m là một tổ, m Ì x và n Ì m, thì m = n.
CHỨNG MINH. Ta chứng minh bằng qui nạp siêu hạn. Một cách trực quan, ta chọn một tổ nào đó rồi một tổ lớn hơn và cứ tiếp tục như vậy với sự tin chắc là vì R không là tập hợp, tập hợp tất cả các tổ,c hứa trong x sẽ được vét cạn trước lớp R các tự số. Với mỗi h ta đặt g(h) = c {m : m là tổ, m Ì x và với p thuộc miền giá trị của h, p Ì m và p ¹ m}) trong đó c là hàm chọn, thỏa mãn tiên đề chọn. (Một cách trực quan, ta chọn g(h) là một tổ nào đó trong x chứa tổ đã chọn trước xem như một phần thực sự). Theo định lý 128, tồn tại một hàm f saoc ho miền xác định của f là một tự số nào đó và f(u) = g(f \ u) với một tự số u nào đó. Từ định nghĩa của g suy ra nếu u Î (miền xác định của f) thì f(u) Ì x và f(u) là một tổ, và nếu u và v là những phần tử thuộc miền xác định của f sao cho u < v thì f(u) Ì f(v) và f(u) ¹ f(v). Do đó f là hàm một – một, f-1 là một hàm, và vì x là một tập hợp nên (miền xác định của f(Î R. Vì f (miền xác định của f) = u. Do đó không tồn tại một tổ m chứa trong x và chứa thực sự mỗi phần tử thuộc miền giá trị của f. Sau hết È (miền giá trị của f) là một tổ chứa mỗi phần tử thuộc miền giá trị của f. Do đó không có một tổ m, chứa trong x và chứa thực sự È (miền giá trị của f).
CÁC BẢN SỐ
Trong mục này sẽ định nghĩa các bản số và chứng minh những tính chất thường dùng nhất của chúng. Các chứng minh liên quan chặt chẽ với các kết quả có trước.
144. Định nghĩa. x » y khi và chỉ khi có tồn tại một hàm một – một f sao cho (miền xác định của f) = x và (miền giá trị của f) = y.
Nếu x » y, ta nói (lớp) x tương đương với (lớp) y hay x và y là cùng lực lượng.
145. Định lý. x » x
146. Định lý.Nếu x » y thì y » x.
147. Định lý. Nếu x » y và y » z, thì x » z
148. Định nghĩa. x là một bản số khi và chỉ khi x là một tự số và từ y Î R và y < x, suy ra x » y là sai.
Thành thử bản số là một tự số không tương đương với một tự số nào bé hơn.
149. Định nghĩa. C = {x : x là bản số }
150. Định lý. E sắp tốt C
151. Định nghĩa. P = {(x, y) : x » y và y Î C}.
Lớp P gồm tất cả các cặp (x, y) trong đó x là một tập hợp và y là một bản số tương đương với x. Bản số P(x) trong đó x là một tập hợp bất kỳ được gọi là lực lượng của tập hợp x, hay bản số của tập hợp đó.
Những sự kiện cơ bản cần cho một loạt kết quả sau, đã được chứng minh.
152. Định lý. P là một hàm, (miền xác định của P) = U, và (miền giá trị của P)=C.
CHỨNG MINH: Trong chứng minh, định lý 140 đóng vai trò quyết định.
153. Định lý. Nếu x là một tập hợp thì P(x) » x
154. Định lý. Nếu x và y là các tập hợp thì x » y khi và chỉ khi P(x)=P(y)
155. Định lý. P(P(x)) = P(x)
CHỨNG MINH: Nếu x không là một tập hợp thì P(x) = U theo định lý 69 và P(U) = U.
156. Định lý. Nếu xÎC khi và chỉ khi x là tập hợp và P(x) = x
157. Định lý. Nếu yÎR và xÌy thì P(x) ≤ y.
CHỨNG MINH: Theo định lý 99, có tồn tại một hàm một - một f, E-E - bảo toàn thứ tự trong x và R sao cho hoặc (miền xác định của f) = x, hoặc (miền giá trị của f) = R. Vì x là một tập hợp và R không là tập hợp nên (miền xác định của f) = x. Theo định lý 94, f(u) ≤ u với uÎx; do đó x tương đương với một tự số nào đó nhỏ hơn y hay bằng y.
158. Định lý. Nếu y là một tập hợp và x <y thì P(x) ≤ P(y)
Khẳng định sau đây là định lý Sơrêđe - Bơcnơsơtên. Nó có thể được chứng minh trực tiếp không dùng tiên đề chọn (định lý 0.20).
159. Định lý. Nếu x và y là các tập hợp, u Ì x, v Ì y, x » v và y » u thì x » y.
CHỨNG MINH: Theo định lý 157, P(x) = P(v) £ P(y) = P(u) £ P(x).
160. Định lý. Giả sử f là một hàm và f là một tập hợp, khi đó P (miền giá trị của f) ≤ P (miền xác định của f).
CHỨNG MINH: Giả sử f ánh xạ x lên y và c là hàm chọn thỏa mãn tiên đề chọn. Khi đó tồn tại một hàm g sao cho (miền xác định của g) = y và g(v)=c({u: v = f(u)}) với vÎy. Do đó y tương đương với một tập con của tập hợp x.
Dưới đây trình bày định lý kinh điển Căngto.
161. Định lý. Với mọi tập hợp x ta có P(x) < P(2x)
CHỨNG MINH: Hàm với miền xác định là x và giá trị của nó tại một điểm tùy ý u của lớp x bằng u là một hàm một - một. Do đó x tương đương với một tập con nào đó của tập 2x và P(x) ≤ P(2x). Nếu P(x)=P(2x) thì có tồn tại một hàm một - một f với miền xác định x và miền giá trị 2x. Khi đó tìm được một phần tử u của lớp x sao cho f(u)={v: vÎx và vÏf(v)}. Nhưng khi đó u Î f(u) khi và chỉ khi uÏf(u), là điều mâu thuẫn.
Lập luận trên có cấu trúc giống với cấu trúc của nghịch lý Rátxen.
162. Định lý. C không là một tập hợp
CHỨNG MINH: Nếu C là một tập hợp thì ÈC là một tập hợp, P(2ÈC)ÎC và do đó P(2ÈC) ÌÈC. Có nghĩa P(2ÈC) ≤ P(ÈC) là điều mâu thuẫn.
Sau một ít chuẩn bị, ta chia các bản số làm hai lớp: các bản số hữu hạn và các bản số vô hạn, và chứng minh cho mỗi lớp một số tính chất đặc biệt.
163. Định lý. Nếu xÎw, yÎw và x+1 » y+1 thì x » y.
CHỨNG MINH: Giả sử f là một hàm một - một, ánh xạ x+1 lên y+1; khi đó có tồn tại một hàm một - một g, ánh xạ x+1 lên y+1 sao cho g(x)=y. Chẳng hạn cho g là (f({(x, f(x))} È {(f-1(y), y)})) È{(f-1(y), f(x))}È{(x, y)}. Khi đó g| x là hàm một - một, được cho trên x, với y là tập hợp các giá trị.
164. Định lý.wÌC.
CHỨNG MINH: Chứng minh bằng qui nạp. Áp dụng định lý trên cho số nguyên đầu tiên, tương đương với số nguyên nhỏ hơn để đi tới một mâu thuẫn. Điều đó có nghĩa mỗi số nguyên là một bản số.
165. Định lý. wÌC.
CHỨNG MINH: Nếu w» x và xÎw thì xÌx+1Ìw và từ đó P(x+1)=P(x). Điều đó mâu thuẫn với định lý trên nói rằng mỗi số nguyên là một bản số.
166. Định lý. Lớp x là hữu hạn khi và chỉ khi P(x)Îw
167. Định lý. Lớp x là hữu hạn khi và chỉ khi có tồn tại một số r sao cho cả r lẫn r-1 đều sắp tốt x.
CHỨNG MINH: Nếu P(x)Îw thì cả E và E-1 đều sắp tốt P(x), nhưng vì x»P(x) nên dễ dàng tìm được r sao cho r và r-1 sắp tốt x. Ngược lại nếu r và r-1 sắp tốt x thì theo định lý 99, có tồn tại một hàm một - một f, r - E - bảo toàn thứ tự trong x và R sao cho hoặc (miền xác định của f) = x, hoặc (miền giá trị của f) = R. Nếu wÌ (miền giá trị của f) thì r-1 không sắp tốt x vì trong w không có E - phần tử cuối cùng. Do đó (miền giá trị của f)Îw, (miền xác định của f) = x và từ đó suy ra định lý của ta.
Mỗi một trong cả loạt định lý sau đây về các tập hợp hữu hạn đều có thể chứng minh được bằng qui nạp theo lực lượng của tập hợp hay bằng cách xây dựng một sự sắp tốt và áp dụng định lý 167.
Ta sẽ cho những ví dụ về cả hai loại.
168. Định lý. Nếu x và y hữu hạn, thì x È y là hữu hạn.
CHỨNG MINH: Giả sử r và r-1 sắp tốt x, còn s và s-1 sắp tốt y. Khi đó dùng r cho các điểm thuộc x và s cho các điểm thuộc y\ x và giả sử mỗi phần tử của lớp y \ x đều đứng sau mỗi phần tử của lớp x, ta có thể xây dựng sự sắp thứ tự thích hợp cho x È y.
169. Định lý. Nếu x hữu hạn và mỗi một phần tử của lớp x đều hữu hạn thì lớp Èx là hữu hạn.
CHỨNG MINH: Có thể lập luận bằng qui nạp theo P(x). Cụ thể xét tập hợp s tất cả các số nguyên y sao cho nếu P(x) = u và mỗi phần tử của lớp x đều hữu hạn thì cả lớp Èx cũng hữu hạn. Rõ ràng là 0 thuộc tập hợp s. Nếu uÎs, P(x) = u + 1 và mỗi phần tử của lớp x là hữu hạn thì có thể chia x thành hai tập hợp, một có lực lượng u còn tập hợp kia chỉ chứa một phần tử. Theo giả thiết qui nạp và từ định lý trên suy ra lớp Èx hữu hạn. Có nghĩa s = w.
170. Định lý. Nếu x và y hữu hạn thì lớp x ´ y cũng hữu hạn.
CHỨNG MINH: Lớp x ´ y là hợp của các phần tử của một lớp hữu hạn nào đó; những phần tử đó có dạng {v} ´ y trong đó v Î x.
171. Định lý. Nếu lớp x hữu hạn thì lớp 2x cũng hữu hạn.
CHỨNG MINH: Giả sử y là một số nguyên. Khi đó các tập con của tập hợp y + 1 có thể chia làm hai lớp những tập hợp là các tập con của tập hợp y, và những tập hợp là hợp của một tập con nào đó của tập hợp y và y. Điều đó cho một cơ sở cần thiết để chứng inh định lý bằng qui nạp.
172. Định lý. Nếu lớp x hữu hạn, y Ì x và P(y) = P(x) thì x = y
CHỨNG MINH: Chỉ cần xét trường hợp khi x là một số nguyên. Giả thiết là y Ì x, y¹ x, P(y) = x và xÎw. Khi đó x ¹ 0 và có nghĩa x = u +1 với một số nguyên u nào đó. Vì y ¹ x nên tìm được một tập hợp con của lớp u, tương đương với y; có nghĩa P(y) £ u. Nhưng P(y) = x = u+1 và điều đó mâu thuẫn với sự kiện là một số nguyên là một bản số.
Tính chất của định lý 172 về sự không tương đương của một tập hợp hữu hạn với bất kỳ một tập hợp con thực sự nào đó nó thực sự đặc trưng cho các tập hợp hữu hạn.
173. Định lý. Nếu x là một tập hợp và x không hữu hạn thì có tồn tại một tập hợp con y của tập hợp x sao cho y ¹ x và x » y.
CHỨNG MINH: Vì x là một tập hợp và không hữu hạn nên wÌP(x). Có tồn tại một hàm f, được cho trên P(x) sao cho f(u) = u + 1 với uÎw và f(u)=u với uÎP(x)\w. Đó là một hàm một - một và (miền giá trị của f) = P(x)\{0}. Vì P(x) » x, nên điều khẳng định của định lý là rõ ràng.
174. Định lý. Nếu x Î R \ w, thì P(x+1) = P(x)
CHỨNG MINH: Rõ ràng là P(x) £ P(x+1). Vì tập hợp x không hữu hạn nên tìm được trong đó một tập hợp con u sao cho u ¹ x và u » x. Do đó có tồn tại một hàm số một - một f trên x + 1 sao cho f(y)Îu với yÎx và f(x)Îx\u. Có nghĩa P(x+1) £ P(x).
Định lý chủ yếu còn lại phụ thuộc vào một thứ tự được gán cho tích Đềcác R ´ R. Một sự mô tả trực quan của thứ tự đó cũng có ích đối với ta. Đó là một sự sắp tốt và trên w´w phải có tính chất là lớp tất cả những "tổ tiên" của một phần tử (x, y) bất kỳ thuộc w´w là hữu hạn (một sự mở rộng của sự kiện này là chìa khóa cho sự giải thích giá trị của thứ tự như vậy). Ta diễn tả w´w là tập hợp con của mặt phẳng Ơclit và chia nó làm các lớp: các cặp (x, y) và (u,v) thuộc cùng một lớp nếu như cực đại của x và y trùng với cực đại của u và v. Khi đó mỗi một lớp là hai cạnh của một hình vuông; và việc sắp thứ tự được sắp xếp sao cho các điểm của hình vuông nhỏ đứng trước các điểm của những hình vuông lớn. Tại các điểm thuộc các cạnh của cùng một hình vuông sự sắp thứ tự tương ứng với sự chuyển động theo cạnh trên sang phải cho tới điểm góc nhưng trừ ra điểm đó, và sau đó cạnh bên phải từ dưới lên trên, kết thúc tại điểm góc.
Nếu x và y là tự số, thì x È y là số lớn nhất trong chúng. Điều đó dẫn tới định nghĩa sau.
176. Định nghĩa. max [x, y] = x Èy
177. Định nghĩa. = {z: với một (u, v} nào đó Î R´R và một (x, y) nào đó Î R ´ R, z = ((u, v), (x, y)) và max [u, v] < max [x, y] hay max [u, v] = max [x, y] và u < x hay max [u, v] = max [x, y] và u = x và v < y}.
177. Định lý. sắp tốt R ´ R
Chứng minh là việc áp dụng trực tiếp nhưng rất cồng kềnh định nghĩa và sự kiện là < sắp tốt R.
178. Định lý. Nếu (u, v)(x, y) thì (u, v) Î (max [x, y] + 1) ´ (max [x, y] + 1).
CHỨNG MINH: Rõ ràng là max [u, v] £ max [x, y]; có nghĩa max [u, v]Ì max [x, y]. Các tự số u và v là các tập hợp con của lớp max [x, y], do đó chúng là các phần tử của lớp max [x, y] + 1.
179. Định lý. Nếu x Î C \ w thì P(x, x) = x
CHỨNG MINH: Ta sẽ lập luận theo qui nạp. Giả sử x là phần tử thứ nhất của lớp C \ w mà với nó định lý là không đúng. Theo định lý 99, có tồn tại một hàm f, là E - bảo toàn thứ tự trong x ´ x và R sao cho hoặc (miền xác định của f) = x ´ x hoặc (miền giá trị của f) = R. Vì x ´ x là một tập hợp còn R không là tập hợp, nên (miền xác định của f) = x ´ x. Ta chứng tỏ rằng nếu (u, v) Î x ´ x thì (f(u, v) < x) và từ đó suy ra định lý. Theo định lý trên, lớp tất cả các phần tử đứng trước (u, v) là một tập hợp con của lớp (max [u, v) + 1) ´ (max [u, v + 1). Nếu x = w, thì u và v là hữu hạn vì max [u, v] < x theo định lý 170. Tập hợp (max [u, v] + 1) ´ max [u, v] + 1) là hữu hạn; do đó f((u, v)) chỉ có một số hữu hạn phần tử đứng trước và f((u, v)) < x. Nếu x ¹w và max [u, v] không hữu hạn thì P (max [u, v] + 1) = P(max [u, v]) < x theo định lý 174. Có nghĩa P(f((u, v))) < x và f((u, v)) < x
180. Định lý. Nếu x và y là các phần tử của C, một trong chúng không thuộc w, khi đó P(x ´ y) = max[P(x), P(y)].
Các phần tử của lớp C \ w được gọi là các bản số vô hạn hay siêu hạn.
Các bản số là đối tượng của nhiều định lý quan trọng và có ích không có trong sách này. Những kiến thức sâu hơn và các tài liệu tham khảo có thể tìm đọc chẳng hạn, trong Frênken [1]. Sự biện luận của ta được kết thúc ở việc nêu ra một trong những bài toán chưa giải được của lý thuyết tập hợp.
181. Định lý. Có tồn tại một hàm duy nhất < là < - bảo toàn thứ tự với miền xác định R và miền giá trị C \ w.
CHỨNG MINH: Theo định lý 99 có tồn tại một hàm f, < là< - bảo toàn thứ tự trong R và C \ w sao cho hoặc (miền xác định của f) = R, hoặc (miền giá trị của f) = C \ w. Vì mỗi một E - thiết diện của lớp R và mỗi một E - thiết diện của lớp C \ w đều là một tập hợp còn cả R lẫn C \ w đều không là tập hợp, nên không thể có (miền xác định của f) ¹ R hoặc (miền giá trị của f) ¹ C \ w.
Hàm duy nhất < là < - bảo toàn thứ tự mà sự tồn tại của nó được đảm bảo bởi định lý trên, thường được ký hiệu là N. Thành thử N (0) hay (N0) là w. Bản số tiếp theo N1 thường ký hiệu là W: đó là tự số không đếm được đầu tiên. Vì , từ đó suy ra . Sự bằng nhau của hai bản số sau đó là một giả thuyết hết sức hấp dẫn. Nó được gọi là giả thuyết côngtinum. Giả thuyết côngtinum mở rộng là như sau: Nếu x là một tự số thì .
Trong những giả thuyết đó, không một giả thuyết nào chứng minh được và bác bỏ được. Tuy nhiên Gơđen đã chứng minh một định lý toán học tuyệt diệu: nếu như xuất phát từ giả thuyết côngtinum mà có thể đi tới mâu thuẫn thì có thể xây dựng được một mâu thuẫn mà không cần thừa nhận giả thuyết côngtinum. Tình hình cũng tương tự như vậy đối với giả thuyết côngtinum mở rộng và tiên đề chọn.
Còn nữa, kỳ sau đăng tiếp
![Nước mắt đàn ông ở Trung Quốc thời Tống (960-1279) [Kỳ 1]](/storage/P9b2AXsvHQIiBa2usqdDEQAsIdw6LrRRMv8nVEJV.jpg)
Hôm nay
Hôm qua
Tất cả
