Những góc nhìn Văn hoá

Tâm Vũ Trụ (Kỳ 4)

Đỗ Xuân Thọ
Thứ 5 22/12/2011

        Vì chúng ta chưa phải là Thượng Đế (Tâm Vũ Trụ), chưa hiểu được Chân Lý Tuyệt Đối (Tâm Vũ Trụ) v.v… nên đến ngay cả số 0 như nhiệt độ 0 tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối bằng 0… hay tập hợp trống 0 như việc chúng ta loại bỏ tất cả các phần tử tư duy trong đầu ta….trên thực tế chúng ta chưa bao giờ đạt được mặc dù chúng ta sẽ đạt được ! Chúng ta chỉ có thể nói rằng 2 - 2 = 0 hoặc tập A\A= 0.v.v… với độ tin cậy =0.9999 (nếu coi 1 là đúng hoàn toàn và 0 là sai hoàn toàn)… ! Khi chúng ta hiểu được TVT thì phải chăng Tâm Vũ Trụ (TVT) là tập hợp trống 0 ????.... Điều đó lý giải vì sao đối tượng vừa là tập hợp vừa không phải tập hợp !
      
      Tự số của một đối tượng A là bản chất có số lượng của A.
       Bản số của một đối tượng A là tự số lớn nhất của A
Trong phần này ta sẽ chứng minh rằng mọi đối tượng trong vũ trụ đều có bản  số.
Bản số đã được trình bầy chặt chẽ trong chương 0. Ở đây sẽ nhắc lại các tiên đề, định nghĩa và định lý quan trọng nhất liên quan đến khái niệm bản số để cho ta liền mạch tư duy. Cuối cùng ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý khẳng định Tâm Vũ Trụ chứa Bản Số. Nếu cần nghiên cứu kỹ mong các bạn quay lại chương 0.
Định nghĩa 12:
0= {x: x ¹ x}
Lớp 0 gọi là lớp trống hay là không
Định lý 32:
xÎV khi và chỉ khi x là tập hợp.
Định lý 33:
Ç 0 = V và  È 0 =0
CM. zÎ0 tương đương với z là tập hợp và z thuộc mỗi một phần tử của lớp 0. Vì không tồn tại các phần tử của lớp 0, nên z tương đương với z là tập hợp. Theo định lý 32  suy ra Ç 0 = V. Điều khẳng định thứ hai cũng chứng minh được dễ dàng.
Định nghĩa 13:
{x}={z:  nếu xÎ V  thì  z=x}.
Lớp một phần tử của phần tử x là {x}
Định nghĩa 14:
 {xy} = {x} È {y}
Lớp {xy} là một cặp không sắp thứ tự
Định nghĩa 15:
(x, y) = {{x} {xy}}
Lớp (x, y) gọi là cặp có sắp thứ tự.
Định nghĩa 16:
r là một quan hệ khi và chỉ khi với mỗi phần tử z của lớp r đều tồn tại x và y sao cho z = (x, y).
Quan hệ là một lớp mà các phần tử là những cặp có sắp thứ tự.
Định nghĩa 17:
f là một hàm khi và chỉ khi f là một quan hệ và với mỗi một x, mỗi một y và mỗi một z, nếu (x, y) Î f và (x, z) Î f thì y = z.
        Tiên đề 2: Tiên đề thế : Nếu f là một hàm và miền xác định của f là một tập hợp thì miền giá trị của f cũng là một tập hợp.
Tiên đề 3: Tiên đề liên kết: Nếu x là một tập hợp thì È x cũng là một tập hợp.
Định lý 34:
Nếu x  (miền xác định của f)  thì  f(x) = V ; nếu xÎ (miền xác định của f)  thì  f(x) Î V .
CM : Nếu x  (miền xác định của f) thì {y : (x, y)Îf}=0 và f(x)=V (định lý 33). Nếu xÎ (miền xác định của f) thì {y : (x, y)Î f} ¹ 0 và f(x) là một tập hợp và do đó f(x) thuộc V
Định nghĩa 18:
x ´ y = {(u, v) : u Î x và v Î y}
Định lý 35:
Nếu f là một hàm và miền xác định của f là một tập hợp thì f là một tập hợp.
CM : Thực vậy f Ì (miền xác định của f) ´ (miền giá trị của f)
Định nghĩa 19:
xry khi và chỉ khi (x, y) Î r.
Nếu xry, ta nói x có quan hệ r với y hay x là r - đứng trước y.
Định nghĩa 20:
r liên thông x khi và chỉ khi từ u và v thuộc x suy ra hoặc urv hoặc vru
Định nghĩa 21:
z là r- phần tử thứ nhất của lớp x khi và chỉ khi zÎx và từ y Î x với  z ¹ y thì yrz là sai
Định nghĩa 23:
y là r – thiết diện của x khi và chỉ khi y x, r sắp tốt x và từ ux, v y và urv suy ra u y.
Do đó tập hợp con y của lớp x được gọi là một r – thiết diện khi và chỉ khi r sắp tốt x và không có phần tử nào thuộc x\y lại r - đứng trước một phần tử của y.
Định nghĩa 24:
 E = {(x, y) : x Î y}.
Lớp E được gọi là Î- quan hệ..
Định nghĩa 25 :
 Lớp x là đầy khi và chỉ khi mỗi phần tử của lớp x đều là một tập hợp con của x.
Nói cách khác, x là đầy khi và chỉ khi mỗi phần tử của một phần tử tùy ý của lớp x là một phần tử của lớp x. Một phát biểu tương đương khác: x là đầy khi và chỉ khi E là bắc cầu trong x.
Định nghĩa 26:
 x là một tự số khi và chỉ khi E liên thông x và lớp x là đầy.
Điều đó có nghĩa là hai phần tử bất kỳ của lớp x, một phần tử là phần tử của phần tử kia và mỗi phần tử của một phần tử tùy ý của lớp x đều thuộc x.
Để hiểu khái niệm tự số ta xét ví dụ sau :
Tự số thứ nhất là 0, tự số tiếp theo 1 = 0 È {0}, tiếp theo 2 = 1 È {1} và tiếp theo 3 = 2 È{2}. Chú ý là 0 là phần tử duy nhất của lớp 1; 0 và 1 là các phần tử duy nhất của lớp 2 và 0, 1, 2 là các phần tử duy nhất của lớp 3. Mỗi một tự số đứng trước 3 không những là phần tử mà còn là một tập hợp con của lớp 3. Các tự số được xác định sao cho loại cấu trúc rất đặc biệt đó được bảo toàn
Định lý 36:
 Nếu y là một r – thiết diện của lớp x và y x thì y = {u:uÎx và urv} với một v nào đó thuộc x.
CM: Nếu y là mọt r – thiết diện của lớp x và y ≠x thì trong x\y có r – phần tử thứ nhất v. Nếu u Îx\y và có nghĩa u Îy. Do đó {u:uÎx và urv} Ì y. Mặt khác nếu u Î y thì v Î y và y là một r – thiết diện, vru là sai; có nghãi là urv. Từ đó suy ra đẳng thức phải chứng minh.
Định lý 37:
Nếu x là một tự số, y Ì x, y ¹ x và lớp y là đầy thì y Î x.
CM. Nếu uEv và uEy thì uEy vì lớp y là đầy. Có nghĩa y là E- thiết diện của lớp x. Do đó theo định lý 36 trong x có tồn tại một phần tử v sao cho y = {u : u Î x và uEv}. Vì mỗi một phần tử của lớp v là một phần tử của lớp x, nên y = {u, u Î v} và y = v.
Định lý 38:
Nếu x là một tự số và y là một tự số thì x Ì y hay y Ì x.
CM. Lớp x Ç y là đầy; theo định lý trên hoặc x Ç y = x hoặc x Ç y Î x. Trong trường hợp thứ nhất x Ì y. Nếu x Ç y Î x thì x Ç yÏ y vì nếu không ta sẽ có x Ç y Î x Ç y. Vì x Ç y Ï y nên theo định lý trên ta suy ra x Ç y = y. Có nghĩa là y Ì x.
Định lý 39:
Nếu x là một tự số và y là một tự só thì hoặc x Î y hoặc yÎ x hoặc x = y.
Định lý 40:
Nếu x là một tự số và y Î x thì y là một tự số.
CM. Rõ ràng là E liên thông y, vì x là đầy và E liên thông x. Quan hệ E là bắc cầu trên y vì E sắp tốt x và y Ì x. Do đó nếu uEp và vEy thì uEy và từ đó y là đầy.
Định nghĩa 27:
 R = {x : x là một tự số}
Định lý 41:
R là một tự số và R không là một tập hợp.
CM: Từ hai định lý sau cùng suy ra E liên thông R và lớp R là đầy. Có nghĩa R là một tự số. Nếu R là một tập hợp thì R Î R, là điều không thể được.
Theo định lý 39, R là tự số duy nhất không là một tập hợp.
Định lý 42:
Nếu f là một hàm thì f \ x là một hàm với miền xác định là x Ç (miền xác định của f) và (f \ x) (y) với mỗi y thuộc miền xác định của f \ x.
Định lý kết thúc của mục về các tự số khẳng định rằng (một cách trực quan) có thể xác định một hàm trên một tự số sao cho giá trị của nó tại một phần tử bất kỳ thuộc miền xác định được cho trước bằng cách áp dụng một qui tắc đã xác định trước cho các giá trị đã có trước của hàm. Nói chính xác hơn với một hàm g cho trước bất kỳ đều tồn tại một hàm duy nhất f, cho trên một tự số, sao cho f (x) = g (f \ x) với mỗi một tự số x. Thành thử giá trị của f(x) hoàn toàn được xác định bởi hàm g và các giá trị của f tại các tự số đứng trước x.
Việc áp dụng định lý này được gọi là việc xác định hàm theo qui nạp siêu hạn.


Định lý 43:
Giả sử f là một hàm, miền xác định của nó là một tự số nào đó, và    f (u) = g(f \ u), với u Î (miền xác định của f). Nếu h cũng là một hàm sao cho miền xác định của h là một tự số nào đó và h(u) = g(h \ u), với u Î (miền xác định của h), thì h Ì f hoặc f Ì h.
CM. Vì cả miền xác định của f lẫn miền xác định của h đều là các tự số nên có thể giả thiết rằng (miền xác định của f) Ì (miền xác định của h) (nếu không sẽ có bao hàm thức ngược lại theo định lý 38). Chỉ còn phải chứng minh rằng f(u)= h (u) với u Î (miền xác định của f). Giả thiết ngược lại là giả sử u là E – phần tử thứ nhất thuộc miền xác định của f sao cho f(u) ¹ h(u). Khi đó f (v) = h(v) với mỗi tự số v đứng trước u. Do đó f \ u = h\ u. Khi đó f(u) = g (f \ u) = h(u) là điều dẫn tới mâu thuẫn.
Định lý 44:
Với mỗi một g đều tồn tại một hàm duy nhất f sao cho miền xác định của f là một tự số và f (x) = g(f \ x) với mỗi một tự số x.
CM. Giả sử f = {(u, v) : u Î R và tồn tại một hàm h sao cho miền xác định của h là một tự số, h (z) = g (h\ z) với z Î (miền xác định của h) và
(u, v) Î h}. Từ định lý trước suy ra f là một hàm. Rõ ràng miền xác định của f là một E – thiết diện của lớp R và từ đó là một tự số. Hơn nữa nếu h là một hàm trên một tự số sao cho h(z) = g(h \ z) với z thuộc (miền xác định của h) thì h Ì f, và nếu z Ì (miền xác định của f) thì f(z) = g(h \ z).
Sau hết, giả sử x Î R \ (miền xác định của f). Khi đó f (x) = V theo định lý 33 và vì miền xác định của f là một tập hợp, nên f là một tập hợp (định lý 35). Nếu g(f \ x) = g(f) = V thì suy ra đẳng thức f(x) = g(f \ x). Trong trường hợp ngược lại g(f) sẽ là một tập hợp (lại định lý 34). Khi đó nếu y và E – phần tử thứ nhất của lớp R \ (miền xác định của f) và h = f È {y, g (f))} thì miền xác định của h là một tự số và h (z) = g(h \ z ) với z Î (miền xác định của h). Do đó h Ì f và y Î (miền xác định của f), là điều mâu thuẫn. Do đó g(f) = V và định lý được chứng minh.
Bây giờ ta phát biểu tiên đề cuối cùng và suy ra hai hệ quả mạnh.
Định nghĩa 28:
c là một hàm chọn khi và chỉ khi c là một hàm và c(x)Î x với mỗi phần tử x thuộc miền xác định của c.
Một cách trực quan, hàm chọn thực hiện việc chọn theo từng phần tử trong mỗi tập hợp thuộc miền xác định của c.
Điều kiện sau đó là dạng mạnh của bổ đề Zecmơlô hay tiên đề chọn.
Tiên đề 4: Tiên đề chọn
Có tồn tại một hàm chọn c, với miền xác định là V \ {0}
Hàm c chọn một phần tử từ mỗi tập hợp khác trống.
Định lý 45:
Với mỗi một tập hợp x đều tồn tại một hàm một – một, miền giá trị của nó là x, và miền xác định của nó là một tự số.
CM. Chứng minh bao gồm việc xây dựng hàm phải tìm theo qui nạp siêu hạn. Ký hiệu g là hàm sao cho g (h) = c(x \ (miền giá trị của h)) trong đó h là một tập hợp bất kỳ và c là hàm chọn, được mô tả trong tiên đề chọn. Theo định lý 44, có tồn tại một hàm f sao cho miền xác định của f là một tự số nào đó và f(u) = g(f\u) với mỗi một tự số u. Khi đó f(u)= c(x \ (miền giá trị của (f\u)), và nếu u Î (miền xác định của f) thì f(u) Îx \ (miền giá trị của (f\u)), Nhưng f là một hàm một – một vì nếu f(v) = f(u) và u < v thì f(v) Î (miền giá trị của (f\v)) và điều đó mâu thuẫn với f(v) Î x \ (miền giá trị của (f\v)). Vì f là hàm một – một nên đẳng thức “(miền xác định của f) = R” là không thể có. Thực vậy f-1 là hàm, miền xác định của nó là một lớp con của lớp x và do đó là một tập hợp. Từ đó suy ra miền giá trị của f-1 là một tập hợp theo tiên đề thế và R không là tập hợp. Do đó (miền xác định của f) Î R. Vì (miền xác định của f) Ï (miền xác định của f) nên f (miền xác định của f) = V và có nghĩa là c(x \ (miền giá trị của f)) = V . Vì miền xác định của c là V \{0} nên x \ (miền giá trị của f) = 0 Từ đó suy ra f là hàm phải tìm.
Định nghĩa 30:
 x » y khi và chỉ khi có tồn tại một hàm một – một f sao cho (miền xác định của f) = x và (miền giá trị của f) = y.
Nếu x » y, ta nói (lớp) x tương đương với (lớp) y hay x và y là cùng lực lượng.
Định nghĩa 31:
x là một Bản Số khi và chỉ khi x là một tự số và từ y Î R và y thuộc x, suy ra x » y là sai.
Do đó Bản Số là tự số lớn nhất của một đối tượng
Định lý 46:
P là một hàm, (miền xác định của P) = V, và (miền giá trị của P)=C.
CM: Trong chứng minh, định lý 45 đóng vai trò quyết định.
      Định lý này là cơ sở để chứng minh định lý 47, định lý trung tâm của chương này
CM: Giả sử V là Vũ Trụ và TVT là Tâm Vũ Trụ, theo định lý trên ,  P là một hàm, (miền xác định của P)=V và (miền giá trị của P) = C . Điều này có nghĩa là mọi đối tượng của vũ trụ V đều có bản số. Vì TVT=V nên TVT chứa bản số. Suy ra đ.p.c.m      
Như vậy ta đã chứng minh được một định lý vô cùng quan trọng khẳng định Tâm Vũ Trụ chứa thêm thành tố thứ 7 đó là Bản số
Từ định lý 47 nay ta có một niềm tin vững chắc rằng chúng ta sẽ lượng hóa được tất cả các đối tượng trong vũ trụ kể cả các đối tượng hữu hình lẫn các đối tượng vô hình và dù đối tượng đó là một ý niệm trong đầu hoặc một sóng ý thức từ vũ trụ bao la bắn vào đầu ta…
Tiếp theo ta sẽ phát biểu và chứng minh một định lý để thấy mọi đối tượng đầy đủ trong vũ trụ đều mang “hình hài” của vũ trụ
 
   + Trong chương 5 chúng ta đã định nghĩa tự số, bản số và chứng minh được một định lý vô cùng quan trọng rằng Tâm Vũ Trụ chứa thêm một thành tố nữa, thành tố thứ 7 đó là Bản Số (tự số lớn nhất của một đối tượng bất kỳ). Chính vì điều này, chúng ta có thể lượng hóa được mọi đối tượng trong Vũ trụ kể cả các đối tượng vô hình như các sóng ý thức (SYT), các tư duy v.v…thành các con số và vững tâm sử dụng mọi thành quả vĩ đại của Toán học mà không sợ là khiên cưỡng.
     Ví dụ chúng ta có thể thác triển một sóng ý thức bằng một chuỗi Furie hoặc mô tả một quyển kinh thánh bằng một hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng hoặc mô phỏng quá trình tư duy để phát minh ra thuyết tương đối của Einstein trên máy tính chẳng hạn…
   + Trong một chừng mực nào đó, chúng ta đã giải thích rõ sự giống nhau và khác nhau giữa hai khái niệm đối tượng và tập hợp  thông qua lý thuyết tập hợp mờ (phụ lục B) mà lý do cốt lõi là chúng ta chưa hiểu được chân lý tuyệt đối (tức Tâm Vũ Trụ). Từ các lý luận đó chúng ta yên tâm sử dụng các phép toán của lý thuyết tập hợp vào đối tượng mà không sợ là “ râu ông nọ cắm cằm bà kia”


tin tức liên quan

Đặc San

Videos

Thống kê truy cập

114553838

Hôm nay

2198

Hôm qua

2242

Tuần này

21534

Tháng này

221381

Tháng qua

122920

Tất cả

114553838